Induktion und deduktion


16.03.2021 12:22
Deduktion und Induktion, methodenportal der Uni Leipzig
Primzahlen gibt, kann man sicher nicht alle Primzahlen aufschreiben. Dann muss p, welches ja von allen pi verschieden ist, offensichtlich eine Primzahl sein. P* ist nicht notwendigerweise die n1 -te Primzahl (es kann zwischen der grten Primzahl unter den ersten n Primzahlen und der neuen Primzahl noch andere Primzahlen geben aber aus der Existenz von n Primzahlen folgt die Existenz von mindestens n1 Primzahlen. Beispiel, ein induktiver Orthografieunterricht wrde keine Regel vorgeben und anwenden lassen. Mit Deduktion ist klassisch die Storichtung vom Allgemeinen zum Besonderen oder von der Theorie zur Empirie verbunden. Trotz dieser Verschrnkung lassen sich eher deduktive von eher induktiven Verfahren unterscheiden, was heien knnte: Geht es in der Untersuchung eher darum, eine bestehende Theorie, Gesetzmigkeit oder eine Vorhersage zu berprfen oder mit einer bestimmten Theorie oder Gesetzmigkeit Erkenntnisse. Diese Beweistechnik nennt man einen.

Als zweiten Beweis gebe ich dann noch den durch vollst. Man sucht dann aus den mehr als n1 Primzahlen die ersten n1 heraus und kann damit den Induktionsschritt von n1 auf n2 durchfhren. Dann gibt es einen echten Teiler von. Stattdessen wren die SchlerInnen aufgefordert, selbst Regeln aus dem Sprachmaterial abzuleiten, etwa aus vielen grogeschriebenen Satzanfngen die Regel Satzanfnge werden grogeschrieben. Ausgehend von p12 weist man so die Existenz einer weiteren Primzahl nach.

Aus etwas richtigem kann nach der mathematischen Logik niemals etwas falsches folgen. Deduktion und Induktion sind also zwei. Induktion dagegen meint herbeifhren oder veranlassen und beschreibt den umgekehrten Weg, also den Prozess, fr Sachverhalte oder Beobachtungen mithilfe von Abstraktion und Verallgemeinerung eine Theorie oder Gesetzmigkeit zu entwerfen. Fall 1: q ist eine Primzahl. Dass deduktive Schlsse in die Irre fhren knnen, falls die gesetzte Prmisse ganz oder teilweise falsch ist, zeigt das folgende Beispiel. Deduktion heit so viel wie ableiten oder fortfhren und beschreibt ganz allgemein den Prozess, aus bestimmten Beobachtungen oder Prmissen Erkenntnisse abzuleiten oder daraus logisch zu schlussfolgern.

Angenommen es gbe nur endlich viele Primzahlen p1,.,pn. Das ist ein Widerspruch zur Annahme. Deduktion und Induktion sind zwei Grundmechanismen der wissenschaftlichen Erkenntnis. Und wenn ein aufgrund logischer Gesetze entstandenes Endergebnis offensichtlich nicht wahr sein kann, ist erwiesen, dass auch die am Anfang getroffene Annahme nicht wahr sein kann. Diese Art zu schlieen ist die vollstndige Induktion. Oder geht es eher darum, aus etwas Vorgefundenem eine Theorie, eine Gesetzmigkeit oder eine Vorhersage zu generieren (Induktion)? Wir wissen nicht, ob q eine Primzahl ist, darum betrachten wir jetzt beide Mglichkeiten.

Diese "andere" Primzahl ist grer als. Dann haben wir eine weitere Primzahl gefunden. Hinsichtlich, beweiskraft und Gltigkeit gilt allerdings fr beide Verfahren wie fr die Wissenschaft allgemein: Die Ergebnisse sind nie wirklich verifizierbar, sondern nur falsifizierbar, also genauso lange gltig, bis eine bessere Theorie oder Beschreibung besteht oder neue Erkenntnisse berechtigte Zweifel aufwerfen. Dann betrachte die Zahl pp1*.*pn1, welche offensichtlich durch keines der pi, i1,.,n teilbar ist. (Ein echter Teiler ist weder die 1 noch q selbst). Beispiel, ein einfacher deduktiver Schluss ist: Im Deutschen werden nur Nomen grogeschrieben.

Fall 2: q ist keine Primzahl. Idealtypen (Max Weber) und beschreiben zwei verschrnkte Tendenzen wissenschaftlicher Erkenntnis. Als Induktionsanfang gengt die Existenz einer Primzahl. Diese Teiler ist nach Konstruktion von q keine der Primzahlen p1,.,. Aber man kann die Mglichkeit prfen, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt und diese Mglichkeit konsequent weiter denken. Am Ende dieser berlegung wird man feststellen, dass etwas nicht stimmt.

Und die Primzahl p* ist nicht notwendig die (n1)-te Primzahl. Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Allerdings gibt es beide nie ohne einander und nie in Reinform : Weder werden die beim deduktiven Schlieen eingesetzten Prmissen ohne eine Auseinandersetzung mit der Empirie gewonnen, noch kommt eine Induktion ohne zuvor etabliertes theoretisches Wissen aus, schon allein deshalb. Demnach ist Im im vorangegangenen Satz ein Nomen. Wie diese neue Primzahl aber lautet, sagt der Beweis nicht. Deduktion und Induktion mgen oberflchlich betrachtet gegenstzlich sein. Also war die Annahme falsch, es muss demnach unendlich viele Primzahlen geben. Aber wenn es bis zu p* mehr als n1 Primzahlen gibt, dann ist das ja auch genug.

Aus den ersten n Primzahlen p1,.,pn ergibt sich die Existenz einer weiteren. Ich nenne diese neue Primzahl. Es muss demnach eine weitere Primzahl geben, die q teilt. Anstatt einen Beweis durch Widerspruch zu fhren, htte man auch den direkten Beweis fhren knnen. Der Beweis enthlt eine konstruktive Idee, wie man aus den ersten n Primzahlen eine weitere Zahl konstruieren kann, durch die man die Existenz einer weiteren, der (n1)-ten Primzahl, nachweisen kann. Im Induktionsschritt muss man deshalb vorsichtig sein. Auch induktive Schlsse knnen irrefhrend sein, weil das Material trgt oder unvollstndig ist.

Whrend es bei deduktiven Verfahren also darum geht, erstellte Theorien empirisch zu berprfen, geht es bei induktiven Verfahren darum, aus empirischen Befunden eine Theorie zu erstellen. Klassisch ist mit Induktion die Erkenntnisrichtung vom Besonderen zum Allgemeinen oder von der Empirie zur Theorie verbunden. Man wird sehen, dass der Widerspruchsbeweis umstndlicher ist. Ich will das zunchst auch tun. Wer sich nun fragt, ob denn q nicht immer eine Primzahl ist, dem gebe ich ein Gegenbeispiel: ist keine Primzahl, denn.

Es wird nmlich der Widerspruch genau mit der konstruktiven Idee fr die vollst. Der geht dann so: Es seien die ersten n Primzahlen bekannt.

Deduktion und Induktion sind zwei Grundmechanismen der wissenschaftlichen Erkenntnis. Deduktion heit so viel wie ableiten oder fortfhren und beschreibt ganz allgemein den Prozess, aus bestimmten Beobachtungen oder Prmissen Erkenntnisse abzuleiten oder daraus logisch zu schlussfolgern. Das Dreieck hat keine und das (n-1)-Eck hat d(n-1) Diagonalen (Induktionsvoraussetzung). Auerdem muss man noch die Diagonalen von der Ecke des Dreiecks, die nicht eine Ecke des (n-1)-Ecks ist, zu allen Ecken des (n-1)-Ecks, die nicht Eckpunkt des Dreiecks sind, zhlen - und nicht zu vergessen die eine Diagonale, mit der das Dreieck abgeteilt wurde. Unter Hypothese versteht man in der Statistik eine anhand empirischer Daten zu prfende Annahme. Man unterscheidet als Gegensatzpaar Nullhypothese, H0, und, alternativhypothese, HA oder. Hufig sagt die Nullhypothese aus, dass ein bestimmter #8230;. Induktive Argumente sttzen sich auf empirische Beobachtungen und, erfahrungen. Dabei wird von Einzelfllen auf das Allgemeine geschlossen.

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